Адмирал, военно-морской министр И.А.Шестаков родился в дворянской семье. В десятилетнем возрасте определен кадетом в Морской корпус. Через два года произведен в гардемарины, но в 1836 г. за неподчинение классному офицеру вынужден был покинуть учебное заведение и поступить юнкером на Черноморский флот. В 1837 г. за отличие "при занятии мыса Константинопольского" удостоился Знака отличия военного ордена и звания мичмана. На следующий год, плавая на корвете "Ифигения", участвовал вместе с десантом в жестоком бою с горцами при местечке Шапсухо, за что получил орден Св.Анны 4-й степени. До 1840 г. он принимал участие в десантах на побережье Кавказа, в крейсерстве на бриге "Фемистокл" у абхазских берегов. В 1841 г. "за примерную отвагу" его наградили орденом Св.Станислава 3-й степени "с мечами" и откомандировали в плавание в Константинополь, а оттуда - в Архипелаг.

И.А.Шестаков как храбрый офицер и исправный моряк был хорошо известен в Севастополе. Весной 1843 г. командующий флотом адмирал М.П.Лазарев, после присвоения Шеста-кову звания лейтенанта, предложил ему стать его адъютантом. Однако при этом Шестаков почти постоянно находился на действующей эскадре. За успешное выполнение поручений командования и непосредственное участие в боевых действиях в 1845 г. его наградили орденом Св.Анны 3-й степени.

В 1845-1846 гг. Ивану Алексеевичу в числе первых на Черноморском флоте довелось осваивать только что появившиеся отечественные пароходофрегаты, а в начале 1847 г. началась его командирская деятельность. Возглавляя экипаж тендера "Скорый", он в течение трех лет плавал в Черном море "для собрания замечаний, касающихся лоции этого моря". "За отличие" в 1850 г. ему присвоили чин капитан-лейтенанта и направили в Англию командиром строившейся там винтовой шхуны "Аргонавт". Кстати, уже тогда Шестаков одним из первых сообщил в морское ведомство о возможных военных осложнениях между Англией и Россией в связи с назревавшим конфликтом на Ближнем Востоке.

В 1851 г. Иван Алексеевич вернулся на родину, переведя шхуну из Великобритании в Николаев. В том же году он издал "Лоцию Черного моря", не потерявшую своей ценности до нашего времени. За эту фундаментальную работу ему было объявлено "монаршее благоволение". В следующем году Шестакова вновь откомандировывают в туманный Альбион для заказа и постройки для Черноморского флота двух винтовых корветов. Но отношения между Англией и Россией вступили в напряженную фазу, корабли были перекуплены британским правительством, и Иван Алексеевич вернулся в Петербург.

Здесь весной 1854 г. его назначили членом "пароходного комитета", ведавшего строительством паровых кораблей в России. Используя опыт, приобретенный в Англии, Шестаков составил подробный, хотя и малоприятный, доклад морскому министру о состоянии отечественного кораблестроения и предложил аргументированную программу строительства парового флота. Тем не менее, генерал-адмирал великий князь Константин Николаевич высоко оценил труд Ивана Алексеевича. Ему присвоили чин капитана 2 ранга и наградили орденом Св.Анны 2-й степени. Ему было поручено наблюдение за постройкой на столичной верфи экспериментальной винтовой лодки, а затем и 19 других. Одновременно Шестаков участвовал в составлении чертежей и постройке еще 89 винтовых кораблей. За это он в 1855 г. удостоился ордена Св.Владимира 4-й степени. Весной того же года по личному указанию генерал-адмирала Ивана Алексеевича назначили адъютантом Великого князя. На пароходе-фрегате ."Рюрик" он вместе с "высочайшим" командованием находился на патрульной службе на случай отражения набега англо-французского флота.

В августе 1856 г. он получает звание капитана 1 ранга и командируется в Северную Америку для наблюдения за постройкой в Нью-Йорке 70-пушечного винтового фрегата "Генерал-адмирал", на котором в 1859 г., совершив беспримерный 12-дневный переход, вернулся в Кронштадт. За успешное выполнение "высочайшего поручения" он удостоился ордена Св.Владимира 3-й степени и назначения флигель-адъютантом царя. Командуя "Генерал-адмиралом", который считался последним словом техники того времени, и возглавляя отряд фрегатов, Шестаков до 1862 г. плавал в Средиземном море. "За отличие" в апреле 1861 г. его произвели в контр-адмиралы с назначением в свиту Его Величества. После возвращения в Кронштадт Ивана Алексеевича удостоили ордена Св.Станислава 1-й степени "с мечами". Тогда же он стал членом Морского ученого и кораблестроительного технического комитетов.

В 1863 г. Шестаков был ответственным за снаряжение крейсерской эскадры контр-адмирала С.С.Лесовского, отправлявшейся к берегам Северной Америки. В эту пору в печати стали появляться статьи Шестакова, резко критикующие российскую кораблестроительную политику и недостатки в реализации кораблестроительной программы. Кое-кому из высшего начальства это не понравилось, и под благовидным предлогом, после объявления трех "монарших благоволений" Ивана Алексеевича в 1867 г. отчислили от всех должностей и отправили градоначальником в Таганрог, а через два года - губернатором в Вильно. Однако по настойчивому требованию генерал-адмирала его в 1872 г. вновь возвращают на флот и назначают военно-морским атташе в Австрию и Италию.

За свою деятельность за границей Шестаков стал "полным" кавалером орденов Св.Анны, Св.Владимира и Белого Орла. В 1880 г. ему присвоили чин вице-адмирала. Но самым неожиданным за службу Шестакова стало его назначение в 1882 г. военно-морским министром. На этом посту Иван Алексеевич способствовал возрождению Черноморского флота и усилению Балтийского. В январе 1888 г. его произвели в чин адмирала. Умер Иван Алексеевич скоропостижно в командировке в Севастополе 21 ноября 1888 г. По личному указанию Александра III он был погребен там же в храме Св.Владимира.